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納許棋的規則與基本技巧 納許棋的棋盤有許多種變形，但彼此都是等價的，最常見的菱形棋盤如圖 3 所示。
圖 3： 菱形的 7 x 7 納許棋棋盤（一般的 n x n 菱形棋盤可依此類推）
納許棋的規則很簡單：
- 雙方分持一種顏色的棋子（例如：藍、紅）
- 一次一子，輪流下
- 紅（藍）棋設法連通紅（藍）色的兩邊
- 完成連通者獲勝。
底下我介紹幾個納許棋的基本技巧。
我們以圖 4中，標示了座標的菱形棋盤來說明這個技巧。紅棋的第一子與第三子雖然還沒有連接，然而只要紅棋作出適當的回應，藍棋並無法切斷它。例如，當藍棋下在D3，紅棋只要馬上下在 C4 即可保住連接；反之亦然。像紅棋這樣的連接方式，稱為「造橋」，這是納許棋最基本的一個手法。
圖 4
棋盤邊緣附近的下法經常也是勝負的關鍵。從防守的角度來說，藍棋在圖 4已經無法阻擋紅棋的第三子往棋盤左上邊的連接了，因為接下來，若藍棋不下 C2或 D2，那麼紅棋就可以用造橋的方式連接到邊緣D1；若藍棋下在 D2，那麼紅棋還可以用造橋的方式連接到B2，這個位置是無法阻擋的（原理與「造橋的連接方式是無法阻擋的」一樣）； 若藍棋下在 C2，那麼紅棋可以下在 D2，這個位置也是無法阻擋的（原理同上）。反過來，對藍棋來說， 藍棋的第二手下得非常不恰當，因為這讓紅棋可下 C3 這一手--- 這是一個從攻擊角度來說的「必連邊緣的位置」。
如果你是先下的棋手，而且下在棋盤的中間地帶，那麼，你一開始便占了很大的優勢。當然，這並不保證你可以成功和自己的對邊連接，還需看接下來的對局。 圖 4 中，7 x 7 棋盤的前三手就是一個這樣的範例。
- 比較公平的開局：豬羊變色規則（Swap Rule）
既然先下的棋手占有的的優勢十分強大，有沒有什麼辦法降低這個優勢，讓遊戲變得比較公平？一個有名的方法稱為 Swap Rule，我們在此將它稱為豬羊變色規則。這個規則很簡單，首先，讓先下的棋手挑選顏色並下了第一子後，讓後下的棋手可以再次決定要選那種顏色。如果挑選別人的顏色，則反而成為先下的棋手，但這時不可以更改方才第一子的所下的位置。若不選對方顏色，則如同一般的規則，而成為後下的棋手。這個辦法有點像是兩個人用「 我切你選」的方法來分割餡餅。理論上，後選顏色的人有較佳的優勢，然而，先下的棋手在下第一子時，可以將第一子放在優劣勢難以判斷的位置上。
圖 5：藍棋運用豬羊變色的規則，將自己改為第一子，但紅棋最終還是獲勝
另外，我提議另一個豬羊變色的規則。方法是，先下的棋手開局後，由後下的棋手選擇決定玩那一種規則：是採「同色對邊先連接者贏」，還是「同色對邊先連接者輸」。不過須注意的是，若採用後面這個規則，這篇文章所談到的許多技巧須重新審視（這個面向的分析，我們以後再談）。
我們列出幾個一般性原則來總結納許棋的初步策略。不過，讀者還是須親自玩上幾回，待有更多的對局經驗後，當能更加領會這些原則。
- 首先以防禦性的布局為主，然後再思索攻擊性的策略（即使當你已經擁有優勢局面時也是如此） 。 記得，防禦就是攻擊（因為不會和局）。
- 當試圖連接邊緣時，首先取得「必連位置」通常是比較有利的。
- 總是尋找有用的壓迫性攻擊（Forcing Moves）或對應性防禦（Corresponding Denfence），而不要浪費在沒有急迫性的行動或回應。記得，勝負通常只有一子的差距。
- 如果沒有 Swap Rule ，而且你是先下的棋手，記得你有一個必贏策略（雖然你不見得找得出這個具體的策略），並善用你所擁有的先下優勢與納許棋的知識 。
3) 納許棋背後的數學
我們提過，「納許棋不會和局，並且先下的棋手有必贏策略」。納許棋會有這個這麼特別的性質，是因為背後有二個漂亮的數學定理與一個非常簡潔的反證法（矛盾論證法）。納許棋的這個性質，也帶給電腦人工智慧這類領域一些有意思的挑戰。底下，我們著重在數學部份的介紹。
- 「納許棋不會和局」與拓樸學（Topology）的不動點定理 --Brouwer's Fixed Point Theorem
數學裡，「不變性」或「 不變量」（invariants）的探討一直都是重要的核心課題。其實，在科學或哲學裡也是如此，因為，所謂的法則、規律、真理指的不過就是在某種條件（等價的結構）之下，一種「不變的對象」。拓樸學裡有各種形式的不動點定理，這也是一種「 不變量」的探討，而且，拓樸是一種很基本的數學結構，這類的定理通常都很重要，而且會有許多應用（不管是在數學或科學）。
圖 6
「納許棋不會和局」這個敘述與拓樸學裡的一種不動點定理 --- Brouwer's Fixed Point Theorem 其實是等價的（詳見： David Gale, The Game of Hex and the Brouwer Fixed-point Theorem, American Mathematical Monthly, number 86, 1979.）。在此，我們暫不論其細節，有興趣的讀者，亦可參見： Yu. A. Shashkin, Fixed Points, AMS Mathematical World Vol. 2, 1991. 一書，裡面有許多深入淺出的精彩介紹。底下關於「納許棋不會和局」的證明，也是修改自該書的內容。
圖 7
首先我們將
任意一個 n x n 大小的納許棋盤邊界加上六角形格子，再塗以對應的黑白二色（如圖 6 ），然後，以每個六角形格子的中心點為頂點，畫出一個虛線圖（如圖 7）。當圖 6的每一格子都放上一個棋子後，我們在對應的圖 7 的頂點上，分別標示以 1 （代表黑子）、與 0（ 代表白子），最後我們會得到如圖 8 的圖像。
圖 8
現在，圖 8中每一個三角形格子的頂點都有一個數字，當三角形格子各邊的兩端點之數字不同時，我們視該邊為一個可開啟的門。我們首先觀察到，每個三角形格子不是沒有門，就是有二個門。因此，當我們從圖 8 中，任一個標為綠色的區域出發，我們可以觀察到，一定會有一個門可以開始這個旅程。特別注意到，這個旅程不會停在棋盤的內部，而會持續下去，一直到其它三個綠色的區域的其中一個。
接下來，我們讓讀者自己驗證底下三個不難推導的敘述：
- 每一個從某一綠色區域出發的旅程不可能通到其對頂點的那一個綠色區域。
- 每一個旅程到了另一綠色區域後就結束了。
- 兩個不同的旅程不會交叉。
由上面三點，我們可歸結出兩種情形：（如同圖 8 中）不是「左下角連接左上角，且右下角連接右上角」，就是「左下角連接右下角，且左上角連接右上角」。這兩種情況中，必定恰好一種會發生。
最後我們再讓讀者自行驗證，上面歸結的兩種情形，剛好分別代表不同顏色的勝出。讀者驗證時須注意到，每一旅程兩側的緊鄰頂點，恰好分別是不同顏色的棋子。
